Stochastische Abhängigkeit & Unabhängigkeit

Was bedeutet stochastische Unabhängigkeit?

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss darauf hat, wie wahrscheinlich das andere Ereignis ist.

Typische Beispiele:

• Münzwurf und Würfelwurf
• Zwei unabhängige Maschinen, die unterschiedlich häufig ausfallen
• Zufällige Auswahl aus zwei getrennten Urnen

Mathematische Eigenschaften

Für unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ gilt:

1. Bedingte Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht

$$P(A \mid B) = P(A) \qquad\text{und}\qquad P(B \mid A) = P(B)$$

2. Produktregel

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Diese Gleichung wird oft verwendet, um Unabhängigkeit nachzuweisen.

Was bedeutet stochastische Abhängigkeit?

Zwei Ereignisse sind stochastisch abhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des anderen beeinflusst.

Beispiele:

• Das Ziehen einer roten Karte ohne Zurücklegen beeinflusst spätere Ziehungen
• Wetterlagen können sich gegenseitig beeinflussen
• Testergebnisse („positiv“) hängen vom tatsächlichen Zustand („krank / gesund“) ab

Mathematische Eigenschaften

Ereignisse sind abhängig, wenn die Produktregel nicht gilt:

$$P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$$

oder wenn sich die bedingte Wahrscheinlichkeit ändert:

$$P(A \mid B) \neq P(A)$$