Bernoulli

Kurzüberblick

Nur zwei mögliche Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg
Trefferwahrscheinlichkeit: $p$
Wiederholung eines Bernoulli-Experiments → Bernoulli-Kette
Verteilung für exakt $k$ Treffer:
$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n - k}$

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Ein Bernoulli-Experiment ist ein sehr einfaches Zufallsexperiment: Es kann nur zwei mögliche Ergebnisse geben – Erfolg oder Misserfolg.

$E$ : Erfolg
$\overline{E}$ : Misserfolg

Für den Erfolg wird eine feste Wahrscheinlichkeit $p$ festgelegt, also $p = P(E)$ .
Da es nur diese beiden Ausgänge gibt, folgt automatisch, dass der Misserfolg mit der Wahrscheinlichkeit $1 - p$ eintritt.

Wichtig ist:

Die Wahrscheinlichkeit ändert sich nicht. Ein Bernoulli-Experiment hat also immer denselben Aufbau und dieselben Chancen – egal wie oft es wiederholt wird.

Typische Beispiele sind:

Münzwurf (Kopf = Erfolg, Zahl = Misserfolg)
Würfelwurf (z. B. 6 ist Erfolg)
Glücksrad mit nur zwei möglichen Bereichen

Was ist eine Bernoulli-Kette?

Wird ein Bernoulli-Experiment mehrmals hintereinander unter denselben Bedingungen wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette.

Dabei gelten drei wichtige Voraussetzungen:

Unabhängigkeit: Der Ausgang eines Versuches hat keinen Einfluss auf die anderen. Jeder Versuch ist quasi „neu“.
Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit: In jedem Versuch gilt dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ .
Nur Erfolg oder Misserfolg: Jeder Versuch hat genau zwei mögliche Ergebnisse.

Wird das Experiment $n$ -mal wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $n$ .

Beispiel:

Man wirft eine faire Münze 10-mal. Dann ist

$n = 10$
$p = 0{,}5$
und jeder Versuch ist unabhängig vom vorherigen.

Eine Bernoulli-Kette beschreibt also eine Serie von „Mini-Experimenten“, die alle gleich funktionieren. Die zugehörige Zufallsvariable $X$ zählt später, wie viele Erfolge insgesamt auftreten.

Was ist ein Bernoulli-Experiment?

Was ist eine Bernoulli-Kette?

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