Normalverteilung
Grundlagen, Eigenschaften und Bedeutung der Normalverteilung.
- Beschreibt viele natürliche und statistische Erscheinungen
- Bestimmt durch: Mittelwert und Standardabweichung
- Typische Form: die bekannte Glockenkurve
- Wichtiger Spezialfall: Standardnormalverteilung (, )
Was ist eine Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Verteilungen in der Stochastik. Viele Werte, die in der Natur oder bei Messungen vorkommen, sammeln sich um einen typischen Durchschnittswert und werden nach links und rechts hin seltener. Genau dieses Verhalten beschreibt die glockenförmige Kurve der Normalverteilung.
Eine normalverteilte Zufallsvariable wird durch zwei Größen festgelegt:
- den Mittelwert : Er gibt an, wo die Kurve zentriert ist.
- die Standardabweichung : Sie beschreibt, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen.
Für die beiden gilt:
Ist die Standardabweichung groß, ist die Kurve breit und flach. Ist sie klein, wird die Kurve schmal und hoch.
Varianz und Standardabweichung
Die Varianz gibt an, wie stark die Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Sie misst also die Streuung einer Zufallsvariable.
Die Varianz wird mit bezeichnet und ist immer positiv:
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz:
Warum spielt die Normalverteilung eine so große Rolle?
In vielen Situationen entstehen Werte durch das Zusammenwirken vieler kleiner Zufälle. Der zentrale Grenzwertsatz aus der Stochastik erklärt, dass sich daraus oft eine Verteilung ergibt, die näherungsweise normalverteilt ist.
Typische Beispiele:
- Messwerte mit zufälligen Messfehlern
- Körpergrößen oder Gewichte einer Population
- Durchschnittswerte mehrerer unabhängiger Messungen
Viele statistische Methoden basieren daher auf der Normalverteilung oder verwenden sie als Näherung.
Die Dichtefunktion der Normalverteilung
Die Dichtefunktion beschreibt die Form der Glockenkurve. Für eine Normalverteilung mit Mittelwert und Standardabweichung lautet sie:
Wichtig ist vor allem:
- Die Kurve ist symmetrisch um den Mittelwert .
- Je größer , desto breiter die Kurve.
- Der höchste Punkt liegt genau bei .
Die Standardnormalverteilung
Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung mit
Sie wird häufig verwendet, weil man jede Normalverteilung durch eine sogenannte Standardisierung in die Standardnormalverteilung umwandeln kann. Dabei wird die Zufallsvariable mit Mittelwert und Standardabweichung in die Zufallsvariable der Standardnormalverteilung überführt:
Die Sigma-Regeln bei der Normalverteilung
Die Sigma-Regeln geben an, wie viel Prozent aller Werte bei einer Normalverteilung in einem, zwei oder drei Standardabweichungen um den Mittelwert liegen.
Mehr dazu findest du hier: Sigma-Regeln