Naturpark Touristen

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14 \, \%$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $800$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttelbusse ein. Die Fahrkarten dür diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80\,\%$ aller gebuchter Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90\,\%$ auch täglich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt der Anteil mit $95\,\%$ etwas höher.

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

„Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortrag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.“

Ereignisse festlegen und bekannt Wahrscheinlichkeiten nutzen

Wir verwenden die Ereignisse aus dem Baumdiagramm:

$B_V$ : Fahrkarte wurde spätestens am Vortag gebucht
$B_T$ : Fahrkarte wurde am Tag der Fahrt gebucht
$N$ : Fahrkarte wird nicht genutzt

Aus dem Baumdiagramm kennen wir bereits die Pfadwahrscheinlichkeiten:

\begin{aligned} P(B_V \cap N) &= 0.80 \cdot 0.10 = 0.08 \\ P(B_T \cap N) &= 0.20 \cdot 0.05 = 0.01 \end{aligned}

Wahrscheinlichkeit für eine nicht genutzte Fahrkarte

Zuerst berechnen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass eine Fahrkarte nicht genutzt wird. Dazu addieren wir die beiden Pfade, die zu „nicht genutzt“ führen:

P(N) = P(B_V \cap N) + P(B_T \cap N) = 0.08 + 0.01 = 0.09

Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten

$P(B_V \mid N)$ : Fahrkarte wurde spätestens am Vortag gebucht, unter der Bedingung, dass sie nicht genutzt wurde
$P(B_T \mid N)$ : Fahrkarte wurde am Tag der Fahrt gebucht, unter der Bedingung, dass sie nicht genutzt wurde

Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

P(A \mid B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}

erhalten wir:

\begin{aligned} P(B_V \mid N) &= \frac{P(B_V \cap N)} {P(N)} &= \frac{0.08}{0.09} &= \frac{8}{9} &\approx 0.8889 \\ P(B_T \mid N) &= \frac {P(B_V)}{P(N)} &= \frac {0.01}{0.09} &= \frac {1} {9} &\approx 0.1111 \end{aligned}

Verhältnisse bilden und Aussage beurteilen

Nun vergleichen wir die beiden Wahrscheinlichkeiten:

\frac {P(B_V \mid N)}{P(B_T \mid N)} = \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} = \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{1} = 8

Das bedeutet:

P(B_V \mid N) = 8 \cdot P(B_T \mid N)

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist tatsächlich achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

Die gegeben Aussage ist also richtig.

Ansatz

Mit CAS berechnen

Antwort

Erwartungswert berechnen

Schwellwert berechnen

Schwellwert aufrunden

Kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen

Antwort

Ereignisse festlegen und bekannt Wahrscheinlichkeiten nutzen

Wahrscheinlichkeit für eine nicht genutzte Fahrkarte

Bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen

Verhältnisse bilden und Aussage beurteilen

Naturpark Touristen

Aufgabe A

Aufgabe B

Aufgabe C

Aufgabe D