Bedingte Wahrscheinlichkeit

Kurzüberblick

Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis, wenn ein anderes bereits eingetreten ist
Schreibweise: $P(A \mid B)$ oder $P_B(A)$
Formel: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Wichtig: $P(B) > 0$

Was bedeutet bedingte Wahrscheinlichkeit?

Die bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verändert, wenn bereits feststeht, dass ein anderes Ereignis eingetreten ist.

Dafür verwendet man die Schreibweisen:

P(A \mid B) \qquad\text{oder}\qquad P_B(A)

Beides bedeutet: $A$ tritt unter der Bedingung ein, dass $B$ bereits eingetreten ist.

Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit

Formel

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

$A$ : Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit man untersuchen möchte
$B$ : Ereignis, von dem man weiß, dass es eingetreten ist
$P(A \mid B)$ : Wahrscheinlichkeit für A unter der Voraussetzung, dass B sicher ist
$A \cap B$ : Beide Ereignisse treten gleichzeitig ein
$P(A \cap B)$ : Wahrscheinlichkeit dafür, dass A und B gemeinsam auftreten
$P(B)$ : Wahrscheinlichkeit dafür, dass B eintritt (und somit die Bedingung erfüllt ist)

Warum wird die bedingte Wahrscheinlichkeit benötigt?

Bedingte Wahrscheinlichkeiten spielen eine wichtige Rolle, wenn Informationen bereits bekannt sind oder sich der Kontext verändert. Beispiele:

Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand krank ist, wenn ein Test positiv war.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte rot ist, wenn man weiß, dass sie ein Bild zeigt.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet, wenn dunkle Wolken aufgezogen sind.

Solche Situationen kommen in vielen realen Anwendungen vor – in Statistik, Medizin, Informatik, Datenanalyse und im Alltag.

Was bedeutet bedingte Wahrscheinlichkeit?

Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit

Warum wird die bedingte Wahrscheinlichkeit benötigt?

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