Binomialverteilung

Kurzüberblick

Bestimmt die Anzahl von Erfolgen in $n$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen
Zwei Ergebnisse pro Versuch: Erfolg oder Misserfolg
Erfolgswahrscheinlichkeit bleibt immer gleich
Einzelwahrscheinlichkeit: $\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n - k}$
Erwartungswert: $E(X) = n \cdot p$

Was ist eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten dafür, wie oft ein bestimmtes Ereignis (der „Erfolg“) in einer festen Anzahl von gleichartigen und unabhängigen Zufallsexperimenten auftritt.

Betrachtet wird dabei eine Folge von Experimenten, bei denen es immer nur zwei mögliche Ausgänge gibt: Erfolg oder Misserfolg. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg beträgt in jedem einzelnen Versuch $p$ und bleibt bei allen Wiederholungen gleich. Die zugehörige Zufallsvariable $X$ zählt dann, wie viele Erfolge in den $n$ Versuchen vorkommen.

Da nur bestimmte, zählbare Werte wie $0,1,2, \dots, n$ möglich sind, handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein typisches Beispiel ist das mehrmalige Werfen einer Münze oder eines Würfels.

Formel

$\binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{\,n-k}$

Diese Formel gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass in $n$ Versuchen genau $k$ Erfolge auftreten. Dabei ist

$n$ die Größe der Stichprobe,
$p$ die Erfolgswahrscheinlichkeit des Ereignisses,
$k$ die Anzahl der Erfolge im Zufallsexperiment,
und $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient.

Formeln

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable beschreibt den durchschnittlichen Wert, welcher bei sehr vielen Wiederholungen des gesamten Experiments erwartet wird.

Da es in jedem der $n$ Versuche mit Wahrscheinlichkeit $p$ zu einem Erfolg kommt, ergibt sich der Erwartungswert ganz einfach zu:

\boxed{ \mu = E(X) = n \cdot p }

Was ist eine Binomialverteilung?

Formeln

Einzelwahrscheinlichkeit

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

Erwartungswert

On this page